Berechnung der Z-Punkte



Diese Tabelle berechnet unterschiedliche Bereiche unter der Standardkurve, basierend auf dem Z-Wert, den Sie eingeben.

Z-Punkte


Z-Wert: Maßstäbe setzen

"Die Z-Punkte", auch "Standardpunkte" genannt, "sind die statistische Messung davon, wie weit eine bestimmte Beobachtung von der Standardabweichung entfernt  ist."

Die mathematische Formel lautet: z = (x – m) / s, wobei:

Statistiker weisen gerne darauf hin, dass der "Schüler t-Test" angemessener für nicht repräsentativ zusammengesetzte Populationsausschnitte funktioniert. Wenn Sie Kugellager herstellen, messen Sie wahrscheinlich nicht jedes einzelne Lager. Wenn Sie jedoch Spiegel für Hubble-ähnliche Teleskope herstellen, messen Sie jeden einzelnen (und das mehrmals).

Was bedeutet diese Punktzahl für mich? Realistisch gesehen?

Nehmen wir an, Ihre Firma stellt Messbecher für Haushaltsküchen her. Sie und ihre Kunden erwarten, dass die Becher akkurat sind.

Ihre Qualitätsgarantie- (QA-quality assurance) Abteilung prüft jeden Messbecher und macht Aufzeichnungen davon, wieviel tatsächlich in dem Messbecher ist, wenn er "1 Liter" anzeigt.

Sie sehen sich einen der Messbecher an und stellen fest, dass er in Wirklichkeit 1.001 Liter enthält.

Offensichtlich ist Ihr Messbecher ungenau, und zwar um einen Millimeter. Ist dies eine Katastrophe? Eine Anomalität? Akzeptable?

Ihr Qualitätspräfungsteam versichert Ihnen, dass der Durchschnitt aller Messbecher bei 1.00003 Litern liegt, und die Standardabweichung bei 0.005. Der Z-Wert beträgt dementsprechend (1.001 – 1.00003)/0.005 = 0.00097/0.005 = 0.194.

Das Qualitätsprüfungsteam erinnert Sie daran, dass diese Messbecher der Normalverteilung unterliegen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, Q, dass dieser Z-Wert zufällig ist 42.3%. Das Qualitätsprüfungsteam würde hier davon ausgehen, dass kein Problem vorliegt.

Was bedeutet "Q" Wahrscheinlichkeit?

Die ‘Q' Wahrscheinlichkeit drückt aus, wie wahrscheinlich es ist, dass der Wert einer Beobachtung tatsächlich "reiner Zufall" ist, anstatt eine systematische Ursache zu haben. Wenn wir annehmen, dass die Datenpopulation einer normalen "glockenfürmigen" Kurve folgt, können Statistiker eine Beziehung zwischen den Z-Punkten und der Q Wahrscheinlichkeit feststellen.

Warum sollte ich den Z-Wert benutzen?

Nehmen wir an, Ihre Firma stellt sowohl Messbecher, als auch Ölfässer her. Jeder Gegenstand sollte die richtige Größe haben. Jeder Gegenstand hat sein eigenes Qualitätsprüfungsteam. Jedes Team hat heute eine Abweichung gemeldet. Sie müssen entscheiden, wo sie ihr seltenes, wertvolles Reparaturteam einsetzen.  

Der Messbecher weicht 1 Milliliter ab, das Fass 40 Milliliter. Das Fass ist eindeutig "falscher", so dass die Fassproduktionsanlage höhere Priorität hat. Oder etwa nicht?

Was, wenn prozentual gesehen der Fehler im Fass geringer ist, als der im Messbecher? Das 55 US-Gallonen Fass hält 208.20 Liter, so dass der Fehler prozentual gesehen bei 0.019% liegt. Der Fehler im Messbecher liegt bei 0.1%. Also ist der Fehler im Messbecher größer als der im Fass. Oder etwa nicht?

Wenn jedoch der Z-Wert des Ölfasses höher liegt, als der des Messbechers, dann hat die Fassproduktionsaanlage das größere Problem - sie ist weiter vom Durchschnitt entfernt als die Messbecherproduktionsanlage. Der Z-Wert zeigt an, dass sich etwas in der letzten Zeit verschlechtert hat. Wenn die Z-Punkte z.B. 0.9 betragen sollten, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Zufall war bei 18%.  Es ist also unwahrscheinlicher als 1 zu 5, dass die Abweichung tatsächlich "purer Zufall" war, also sollten Sie vielleicht doch die Fassproduktionsanlage auf Schäden, die in letzter Zeit aufgetreten sind, hin untersuchen. Also: der Z-Wert unterstützt Sie dabei, die Signifikanz von Abweichungen, die in unterschiedlichen Populationen beobachtet werden, zu vergleichen.

Zusammenfassung

Ein größerer Z-Wert zeigt, dass die Beobachtung unwahrscheinlicher ist, und daher auf ein Problem hinweist.  Der Z-Wert gestattet bei der Qualitätskontrolle den Vergleich zwischen Äpfeln und Autos - wie sehr weicht das Gewicht des Apfels von dem der anderen Äpfel in der Plantage ab? Wie sehr weicht die Lackdicke eines Autos von der der anderen Autos in dieser Fabrik ab?



Oskar Olofsson










Oskar Olofsson

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